【世界杯买球】 单叶函式

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[拼音]:danye hanshu

[外文]:univalent function

复变函式中一类重要的解析函式。在复平面区域D上单值的解析函式ƒ(z),若对D中任意的不同的两点z1、z2有ƒ(z1)≠ƒ(z2),就称作是单叶的。由著名的黎曼对映定理知道,任意两个至少有两个边界点的单连通区域D1及D2,一定可以相互共形对映,即存在解析的单叶函式ƒ,将D1一一地对映为D2,所以对单叶函式的研究在复变函式论中显得很重要。由于单叶对映也是最简单的对映,所以对它的讨论也是复变函式论中最基本的内容之一。

若解析函式ƒ(z)在D中单叶,则ƒ┡(z)≠0在D中成立;反之,ƒ┡(z)≠0在D中成立,不一定能保证ƒ(z)在D中单叶,只能说在一点的一个邻域内单叶。

最早对单叶函式有重要贡献的是P.克贝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.费伯(1916)等。例如,比伯巴赫证明了重要的偏差定理:若 ƒ(z)在|z|<1中正则单叶,且ƒ(0)=0,ƒ┡(0)=1,则

;等号限于克贝函式

时成立。在证明这些不等式时,比伯巴赫讨论了单叶的半纯函式

,给出了面积原理:g(

)将│

│>1对映的区域的馀集的面积是非负的,这可写成

。由此他证明:若ƒ(z)=z+

在|z|<1中解析单叶,则|α2|≤2。由此可汇出克贝掩盖定理:|z|<1经w =ƒ(z)对映后的像一定掩盖|w|< 1/4的圆;当且仅当ƒ(z)为克贝函式时,正好掩盖|w|< 1/4的圆。再进一步的结果就是偏差定理。对于单叶函式,有很多有趣的几何性质,如 Γ.М.戈卢津证明了如下回转定理:若

在|z|< 1中正则单叶,则对|z|=r时,有|argƒ┡(z)|≤4sin-1r,当

;

,当

。又如戈卢津证明了n-截线定理:若ƒ(z)=z+

在z<1中正则单叶,w =ƒ(z)将|z|<1映为R,则一定存在从w =0出发在R 内的n 条射线,两条相邻射线的夹角为2π/n,使得这n条射线的总长至少为n。1916年,比伯巴赫提出了一个猜想:若

。1923年K.勒夫纳创造了引数表示法,证明了|α3|≤3。1955年,P.R.加拉贝迪安与M.M.席费尔应用变分法证明了|α4|≤4。1960年Z.恰尔任斯基和席费尔应用格伦斯基不等式简化了证明。沿用这个方法,1968年,R.N.佩德森和小沢满各自证明了|α6|≤6。1972年,佩德森和席费尔证明了|α5|≤5。另外可以证明,对于一些特殊函式类,比伯巴赫猜想成立,如星象函式、近似凸函式、实系数函式等。1955年W.K.海曼证明了

,等号成立限于克贝函式。即对于一个固定的,在|z|<1中解析单叶的函式,当n充分大时,比伯巴赫猜想成立。

由比伯巴赫猜想产生了一系列相关的猜想,如米林猜想,罗伯森猜想,希尔斯莫尔猜想,罗戈辛斯基猜想,李特尔伍德猜想等,其中最重要的是米林猜想;若ƒ在D中正则单叶且ƒ(0)=0,ƒ┡(0)=1,

,则

,对所有n=1,2,…都成立。可以证明米林猜想汇出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基结合勒夫纳方法及米林方法证明了米林猜想,从而证明了比伯巴赫猜想。历时68年终于证明了这个著名的猜想。

参考书目

W.K.Hayman,Multivalent Functions,Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1958.

J.A.enkins,Univalent Functions and ConforMal Map-ping,Springer-Verlag, Berlin,1958.

L.de Branges,Acta MatheMatica,154, pp. 137~152,1985.

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