泰希米勒空间

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[拼音]:taiximile kongjian

[外文]:Teichmüller space

黎曼曲面复结构的形变所组成的空间。泰希米勒空间的理论主要是用拟共形对映为工具来研究黎曼曲面的模问题,这种研究与克莱因群以及低维拓扑问题有一定的联络。20世纪30年代末及40年代初,O.泰希米勒发表的几篇著名文章为这一理论奠定了基础。50年代后,L.V.阿尔福斯与L.伯斯等人进一步发展了泰希米勒理论。

设Rg是全体亏格为 g的闭黎曼曲面的共形等价类所组成的空间。所谓黎曼曲面的模问题就是指Rg空间的引数化问题。

在g=1时(也即环面的情况),上述问题的解决是容易的。事实上,每个环面都同构于C/Λ(τ) ,这里Λ(τ)表示格群

{m+nτ:m,n∈Z},Im(τ)>0。

另一方面,环面C/Λ(τ)与C/Λ(τ′)共形等价的充要条件是τ′=(ατ+β)/(γτ+δ),其中α ,β,γ,δ∈Z且αδ-βγ=1。这就是说,环面的共形等价类可以用模群SL(2;Z)在上半平面中的基本域中的点来代表。换句话说,R1可以通过一个复引数来描述。

对于亏格 g>1的情况,1857年黎曼提出下列的猜想:Rg可以通过3g-3个复引数来描述。这些引数被称为黎曼曲面的模。在g>1的情况下,直接讨论Rg的引数化问题十分困难。解决这个问题的一个关键步骤是过渡到Rg的一个覆盖空间上,这就是后来以泰希米勒命名的空间Tg。

考虑一个固定的亏格为g(g>1)的闭黎曼曲面S0。对于任意一个亏格为g的闭黎曼曲面S及S0到S 的一个保持定向的同胚σ,称(S,σ)为一个标记黎曼曲面。两个标记黎曼曲面(S,σ)与(S1,σ1)被称为等价的,如果存在一个共形对映φ:S→S1同伦于σ1。σ-1。标记黎曼曲面(S,σ)的等价类记作[S,σ]。全体这样的等价类就组成了泰希米勒空间Tg。

设τ:S0→S1是S0的一个保持定向的自同胚。则每一个这样的自同胚τ都诱导了Tg到自身的对映

。全体这样的τ*组成了一个群,记作Mod g,被称为模群。有下列的关系:

早在泰希米勒之前,R.弗里克就证明了 Tg(g>1)有6g-6个实的整体引数。泰希米勒在此基础上,借助于他对黎曼曲面上的拟共形对映的极值问题的讨论,在Tg空间中引进一种度量:

式中ƒ跑遍σ1。σ-1的同伦类中的一切拟共形对映;K[ƒ]表示ƒ的最大伸缩商。泰希米勒证明了这是一个完备度量,在这个度量下Tg空间同胚于

中的单位球内部。

设Q(S0)是黎曼曲面S0上全体全纯二次微分φdz2所组成的线性空间。由黎曼-罗赫定理可计算出Q(S0)的复维数为3g-3,这里g是S0的亏格(g>1)。泰希米勒基于对全纯二次微分诱导的度量

的几何性质的研究,证明了对于任意一点[S,σ]都可以找到一个特殊代表(S,σ),使得其中σ:S0→S是一个拟共形对映,其相应的贝尔特拉米微分具有下列形式:

,其中k是小于1的非负实数,

。这里φdz2惟一由点[S,σ]所决定,只要它满足规范条件。总之,泰希米勒把Tg中的点对应到 Q(S0)中的点(附加规范条件)及一个实数k,这样一来,Tg中的点恰好由6g-6个实引数确定。

1960年阿尔福斯首先证明了泰希米勒空间 Tg(g>1)在某种自然意义下构成了3g-3维复流形。1961年伯斯进一步证明了,Tg可以全纯嵌入到C

中成为一个有界域。伯斯嵌入的主要考虑基于拟共形对映理论。

泰希米勒空间Tg作为一个C

中的有界域,它是一个全纯凸域,但不是对称域,甚至不是齐性域。

在Tg的复结构下,模群Mod g中的每一元素τ*:Tg→Tg都是全纯对映。模群在Tg上的作用是真间断的。因此,

成为一个正规复空间,但不是流形(g>1)。它有奇点, 奇点对应于允许有非平凡共形自同构的黎曼曲面。

在Tg空间上可以引进自然的凯勒度量。这个度量的里奇曲率及全纯截面曲率都是负的。已经证明了上述泰希米勒度量重合于Tg的小林伪度量,并由此推出Tg空间没有模群之外的全纯自同构。

对于泰希米勒空间的研究导致了万有泰希米勒空间的概念。所谓万有泰希米勒空间实际上是指满足规范条件的在单位圆内单叶解析而在单位圆外能拟共形开拓的函式所组成的空间。对于泰希米勒空间的边界的研究导致了对边界群的探讨。这是一类特殊的克莱因群,它只有一个单连通的不变分支。此外,W.P.瑟斯顿基于他对曲面叶状结构的研究,给出了空间Tg的一种紧化,并在此基础上证明了关于紧曲面上保向自同胚的分类定理。伯斯给瑟斯顿定理以分析的证明,并相应地给出了模群元素的分类。

参考书目

L.V.Ahlfors,Quasiconformal Mapping,Teichm╇llerSpaces and Klein Groups,Proc.lnternat.Congr.Math.pp.71~84,Helsinki,1978.

L.Bers, Finite Dimensional Teichm╇ller Spaces and Generatizations,Bulletin (New Series)of American Math.Soc.,Vol.5, No.2, pp.131~172,1981.

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